THỐNG KÊ TRUY CẬP
Số người đang online: 116
Số lượt truy cập: 4205891
QUANG CÁO
VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC 1/8/2015 9:00:05 PM
Trong giảng dạy môn toán THCS nói chung và giảng dạy môn hình học nói riêng chúng ta gặp nhiều dạng toán khó, song về hình học ta thường gặp nhiều bài tập khó và phức tạp mà để giải được nó chúng ta cần phải vẽ thêm các đường phụ. Việc vẽ đường phụ là đặc biệt khó đối với HS song trong các bài kiểm tra định kỳ, học kỳ theo yêu cầu cần có bài khó, ý khó nhằm phát hiện HS giỏi, do đó trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi và đưa ra một số bài, dạng toán có sử dụng phương pháp vẽ đường phụ trong hình học mong các đồng nghiệp tham khảo và bổ sung.

A - MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP NÊN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ.

 

1.      Thông thường cách vẽ đường phụ xuất phát từ cách tìm kiếm lời giải bằng phân tích đi lên.

2.      Vẽ đường phụ để liên kết những yếu tố đã cho với nhau, đẩy chúng về phía với nhau, tạo ra hình trung gian.

3.      Vẽ đường phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết (dựa vào kiến thức đã học).

4.      Vẽ đường phụ để sử dụng một phương pháp nào đó đặc biệt để giải: Phương pháp tam giác đồng dạng, phương pháp diện tích; phương pháp tứ giác nội tiếp (lớp 9) hoặc phương pháp đại số v. v . . .

 

B -  MỘT SỐ CÁCH  THƯỜNG DÙNG.

 

CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC (H Î BC) thì DH = 4cm.

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC (H Î BC) và  DH = 4cm.

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại  A.

2) Hướng suy nghĩ:

DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.

3) Chứng minh:

GT

DABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; ; DH ^ BC; DH = 4 cm

KL

D ABC cân tại A.

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =cm.

Lại có: BD == 5 cm (do D là trung điểm của AB)

Xét D HBD có: BHD = 900 (gt), theo định lí Pitago ta có: DH2 + BH2  = BD2

Þ BH2  = BD2 -  DH2 = 52 - 42 = 9 Þ BH = 3 (cm)

Từ đó: BD = DA; BH = HK (= 3 cm)

Þ DH // AK (đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).

Ta có: DH ^ BC, DH // AK Þ AK ^ BC.

Xét D ABK và DACK có:

  • BK = KC (theo cách lấy điểm K)
  •  = 900
  • AK là cạnh chung

Þ D ABK  =  DACK (c – g- c)     Þ AB = AC Þ D ABC cân tại A.

 

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác).

 1) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.

2) Hướng suy nghĩ:

Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của  (IÎ BC)

3) Chứng minh:

GT

DABC;

KL

AB = AC

1

 

Vẽ tia phân giác AI của  (IÎ BC).

Þ.                            (1)           

  ( gt)   Þ          (2)

Xét D ABI và D ACI ta có:

  • (theo (2))
  • Cạnh AI chung
  • (theo (1))

Þ D ABI  =  D ACI ( g -c - g)         Þ AB = AC (2 cạnh tương ứng)

4) Nhận xét:

 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.

 

CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC.

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh:  

2) Hướng suy nghĩ: 

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.

3) Chứng minh:

GT

DABC; ;  AM là trung tuyến

KL

 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.

Xét D MAC và D MDB  ta có:

  • MA = MD (theo cách lấy điểm D)
  •   (vì đối đỉnh)
  • MB = MC (Theo gt)

Þ D MAC =  D MDB  (c - g - c)

Þ AB  = CD  (2 cạnh tương ứng)                                                                    (1)

(2 góc tương ứng).

Þ AB // CD (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: AC  ^ AB ( gt)

Þ AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay  (2)

Xét D ABC  và D CDA có:

  • AB = CD (Theo (1))
  • ( Theo (2))
  • AC là cạnh chung

Þ D ABC  =  D CDA ( c - g - c)

Þ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà  Þ

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh  và ? ( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.

Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?

2) Hướng suy nghĩ:  

Hai góc  và  không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc  và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc

lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.

3) Lời giải:

GT

DABC; AB < AC;  M là trung điểm BC

KL

So sánh  và ?

 

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.

Xét D MAB và D MDC  ta có:

  • MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
  •  ( vì đối đỉnh)
  • MB = MC ( Theo gt)

Þ D MAB =  D MDC  ( c - g - c)

Þ AB  = CD  (2 cạnh tương ứng)                                                 (1)

(2 góc tương ứng).                                                    (2)

Ta có: AB = CD (Theo (1)), mà AB < AC (gt)   Þ CD  < AC.    (3)                                                                                                                      

Xét DACD có:    CD  <  AC (theo (3))

 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác). Mà (theo (2))

½ hay     <   .

 

CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR:  AB =  CD, AC =  BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí:

Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng

song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.

Yêu cầu chứng minh:  AB =  CD, AC =  BD.

2) Hướng suy nghĩ:

để chứng minh AB =  CD, AC =  BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.

3) Chứng minh:

GT

AB // CD; AC // BD

KL

AB = CD; AC = BD

Xét D ABD và D DCA có:

·           ( so le trong AB // CD)

·         AD là cạnh chung

·          (so le trong AC // BD)

Þ D ABD = D DCA (g - c - g)   ½ AB = CD;  AC = BD (các cạnh tương ứng)

 

CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Bài cho D ABC có đường cao AH  và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.  Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.

 2)Hướng suy nghĩ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra 

= 900.

3) Chứng minh:

GT

D ABC; AH ^BC; trung tuyến AM;

KL

D ABC vuông;  D ABM đều

Vẽ MI ^ AC ( I Î AC)

Xét D MAI và D MAH có:

  • ( gt)
  • AM là cạnh chung)           Þ D MAI =  D MAH (cạnh huyền - góc nhọn)
  •   (gt)                 
  • Þ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng)                   (1)

Xét D ABH và D AMH  có:

  • ( gt)
  • AH là cạnh chung               Þ D ABHI =  D AMH ( g - c - g)
  • ( gt)                    Þ BH = MH ( 2 cạnh tương ứng)                  (2)

Mặt khác: H Î BM , Từ (1) và (2) Þ

 Xét D vuông MIC có: nên  từ đó suy ra:   = 600 .

Þ  .   Vậy D ABC vuông tại A.

; Lại có  AM = ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

 D ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.

 

            Còn nhiều bài toán về vẽ đường phụ khác và còn rất nhiều cách giải khác. Rất mong mọi người đóng góp ý kiến để bài viết được phong phú hơn.

 

 

                                                                             Mỹ thủy, ngày 01 tháng 10 năm 2014

                                                                                               Người viết

                                                        

 

                                                                                                       Nguyễn Thị Thanh Bình

 

 

HỖ TRỢ TRỰC TUYẾN
Lê Chí Dũng 
ĐĂNG NHẬP

Tên đăng nhập
Mật khẩu
HÌNH ẢNH
LIÊN KẾT WEBSITE


BẢN QUYỀN THUỘC VỀ TRƯỜNG THCS MỸ THỦY
Địa chỉ: HUYỆN LỆ THỦY - TỈNH QUẢNG BÌNH
Điện thoại: 052.3882977 * Email: thcsmythuy@lethuy.edu.vn