THỐNG KÊ TRUY CẬP
Số người đang online: 101
Số lượt truy cập: 3343922
QUANG CÁO
MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NHIỀU ẨN 11/3/2012 10:08:22 AM
Trong giảng dạy toán THCS, đặc biệt toán 8 và 9 chúng ta gặp nhiều dạng toán, song về đa thức nhiều biến nhiều bài, dạng khá phức tập và khó khăn, đặc biệt đối với HS, trong các bài kiểm tra định kỳ, học kỳ theo yêu cầu cần có bài khó, ý khó nhằm phát hiện HS giỏi, do đó trong thời gian dạy tôi tìm tòi và đưa ra một số bài, dạng về đa thức nhiều biến sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo và bổ sung.

I: SỰ BẰNG NHAU

Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức

                          (x + y)3 +(x - y)3 = 2x(x2 + 3y2)

Giải:

Cách 1

              

Cách 2:

Cách 3: Biến đổi cả hai vế cùng bằng vế thứ 3.

Từ bài toán trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng đa thức                            

(x + y)3 + (x - y)3 - 2x(x2 + 3y2) không phụ thuộc vào biến x,y.

Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức

Giải

Cách 1:

Ta thấy: x - y = (x - z) + (z - y)

Ta có:

(x - y)3 = (x - z)3 + (z - y)3 + 3(x - z)(z - y)

=-(z - x)3 - (y - z)3 +3(z - x)(y - z)(x - y)

Tương tự với (y - z)3 và (z - x)3

Sau đó cộng vế theo vế suy ra đpcm

Cách 2:

Đặt A = x - y; B = y - z; C = z - x. Ta có: A + B + C = 0.

Suy ra: A3 + B3 = (A + B)3 -  3AB(A + B) = - C3 - 3AB(-C)

     Vậy: A3+B3 +C3 = -C3  - 3AB(-C) + C3 = 3ABC

Cách 3: Thực hiện phép tính rồi rút gọn hai vế, so sánh kết quả chúng với nhau.    

II: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài toán 1

Phân tích đa thức 5x2 + 6xy + y2 thành nhân tử

Cách 1:

            5x2 + 6xy + y2 = (5x2+5xy) = (xy + y2) = 5x(x+y) + y(x+y) = (x+y)(5x+y)

Cách 2:

            5x2 + 6xy + y2 = (6x2+ 6xy)-(x2-y2) = 6x(x+y)-(x+y)(x-y) = (x+y)(5x+y)

Cách 3:

5x2 + 6xy + y2= (4x2+4xy) + (x2+2xy+y2) = 4x(x+y) + (x+y)2 = (x+y)(5x+y)

 

Cách 4:

5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy+3y2) + (2x2-2y2) = 3(x+y)2 + 2(x+y)(x-y)

= (x+y)(5x+y)

Cách 5:

            5x2 + 6xy + y2 = (5x2+10xy+5y2) - (4xy+4y2) = 5(x+y)2 - 4y(x+y)

            = (x+y)(5x+y)

Cách 6:

5x2 + 6xy + y2 = (5x2-5y2) + (6xy+6y2) = 5(x+y)(x-y)+6y(x+y) =

= (x+y)(5x+y)

Cách 7:

            5x2 + 6xy + y2 = (9x2+6xy+y2) - 4x2 = (3x+y)2 - (2x)2 = (x+y)(5x+y)

Bài toán 2

            Phân tích thành nhân tử:  A=ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)

Giải

Cách 1:

A=ab(a-b)+b2c-bc2+c2a-ca2

   =ab(a-b)+c2(a-b)-c(a2-b2)

   = ab(a-b)+c2(a-b)-c(a-b)(a+b)

   =(a-b)(ab+c2-ca-cb)

   =(a-b)(b-c)(a-c)

Cách 2:

Vì (a-b)+(b-c)=a-c nên

A=ab(a-b)+bc(b-c)-

   = ab(a-b)+bc(b-c)-ca(a-b)-ca(b-c)

   = a(a-b)(b-c)-c(b-c)(a-b)

   =(a-b)(b-c)(a-c)

III: Bài toán chứng minh

Bài 1:

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của 2 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8

Giải

Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n+1 và 2n-1

Ta cần c/m:  (2n+1)2-(2n-1)2 chia hết cho 8

Ta có: (2n+1)2-(2n-1)2 = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) = 4n.2 = 8n  8

Từ đó ta có bài toán tương tự

1 : Chứng minh rằng hiệu các bình phương của 2 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 4

2 : Tổng các lập phương cảu 3 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 9

Bài 2: Chứng minh nếu a3+b3+c3 = 3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c

Giải

Từ gt: a3+b3+c3 = 3abc  a3+b3+c3 - 3abc = 0

Ta phân tích vể trái

a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = 0

a+b+c =0

Hoặc (a2+b2+c2-ab-bc-ca) = 0 (1)

Biến đổi vt (2) ta được:

Khi đó a=b=c

Khai thác bài toán: Từ kết quả trên ta rút ta những điều sau

          1. Nếu a+b+c=0 thì          a3+b3+c3 = 3abc

           2. Nếu a+b+c>0 thì         a3+b3+c3  3abc

    3. Nếu a+b+c<0 thì         a3+b3+c3  3abc

Bài 3: Chứng minh rằng nếu x2(y+z) + y2(z+x) + z2(x+y) +2xyz = 0               (1)

thì x3+y3+z3 = (x+y+z)3                                                                                                       (2)

Giải

Vì vế trái của (1) là đa thức đối xứng 3 ẩn x,y,z. Gọi đa thức này là H

H = x2(y+z) + y2(z+x) + z2(x+y) +2xyz

Nếu thay x=-y vào H thì H=0

Vì H là đa thức bậc 3 đối với x,y,z nên H = a(x+y)(y+z)(z+x)

Thay x = y = z = 1 vào (2) ta được 8=8a hay a=1

Vậy H=(x + y)(y + z)(z + x)

H = 0 nên x + y = 0 hoặc  y + x = 0 hoặc z + x = 0

Nếu x + y =  0 thì x = -y, do đó:

x3 + y+ z3 = z3 = (x + y + z)3                                                                                                        

Cách 2: Biến đổi vt (1) về dạng (x+y)(y+z)(z+x) rồi lập luận như trên.

 

            Còn nhiều bài và nhiều cách giải phong phú khác, mong các đồng nghiệp góp vào cho phong phú hơn.

 

                                                                                                Mỹ thủy, ngày 22/10/2012

                                                                                                                        GV - Võ Đức Thọ

 

 

HỖ TRỢ TRỰC TUYẾN
Trần Thị Diệu Liến 
Lê Chí Dũng 
ĐĂNG NHẬP

Tên đăng nhập
Mật khẩu
HÌNH ẢNH
LIÊN KẾT WEBSITE


BẢN QUYỀN THUỘC VỀ TRƯỜNG THCS MỸ THỦY
Địa chỉ: HUYỆN LỆ THỦY - TỈNH QUẢNG BÌNH
Điện thoại: 052.3882977 * Email: thcsmythuy@lethuy.edu.vn