Trong giảng dạy toán THCS, đặc biệt toán 8 và 9 chúng ta gặp nhiều dạng toán, song về đa thức nhiều biến nhiều bài, dạng khá phức tập và khó khăn, đặc biệt đối với HS, trong các bài kiểm tra định kỳ, học kỳ theo yêu cầu cần có bài khó, ý khó nhằm phát hiện HS giỏi, do đó trong thời gian dạy tôi tìm tòi và đưa ra một số bài, dạng về đa thức nhiều biến sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo và bổ sung.
I: SỰ BẰNG NHAU
Bài toán 1: Chứng
minh đẳng thức
(x + y)3 +(x - y)3
= 2x(x2 + 3y2)
Giải:
Cách 1
Cách 2:
Cách 3: Biến
đổi cả hai vế cùng bằng vế thứ 3.
Từ
bài toán trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng đa thức
(x
+ y)3 + (x - y)3 - 2x(x2 + 3y2)
không phụ thuộc vào biến x,y.
Bài toán 2: Chứng
minh đẳng thức
Giải
Cách 1:
Ta thấy: x - y = (x - z) + (z - y)
Ta có:
(x - y)3 = (x - z)3 + (z - y)3
+ 3(x - z)(z - y)
=-(z - x)3 - (y - z)3 +3(z -
x)(y - z)(x - y)
Tương tự với (y - z)3 và (z - x)3
Sau đó cộng vế theo vế suy ra đpcm
Cách 2:
Đặt A = x - y; B = y - z; C = z - x. Ta có: A + B + C = 0.
Suy ra: A3 + B3 = (A + B)3
- 3AB(A + B) = - C3 - 3AB(-C)
Vậy: A3+B3
+C3 = -C3 -
3AB(-C) + C3 = 3ABC
Cách 3: Thực hiện phép tính rồi rút gọn hai vế, so sánh kết
quả chúng với nhau.
II: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ
Bài toán 1
Phân
tích đa thức 5x2 + 6xy + y2 thành nhân tử
Cách 1:
5x2 + 6xy + y2
= (5x2+5xy) = (xy + y2) = 5x(x+y) + y(x+y) = (x+y)(5x+y)
Cách 2:
5x2 + 6xy + y2
= (6x2+ 6xy)-(x2-y2) = 6x(x+y)-(x+y)(x-y) =
(x+y)(5x+y)
Cách 3:
5x2 + 6xy + y2= (4x2+4xy)
+ (x2+2xy+y2) = 4x(x+y) + (x+y)2 = (x+y)(5x+y)
Cách 4:
5x2 + 6xy + y2 = (3x2
+ 6xy+3y2) + (2x2-2y2) = 3(x+y)2 +
2(x+y)(x-y)
= (x+y)(5x+y)
Cách 5:
5x2 + 6xy + y2
= (5x2+10xy+5y2) - (4xy+4y2) = 5(x+y)2
- 4y(x+y)
= (x+y)(5x+y)
Cách 6:
5x2 + 6xy + y2 = (5x2-5y2)
+ (6xy+6y2) = 5(x+y)(x-y)+6y(x+y) =
= (x+y)(5x+y)
Cách 7:
5x2 + 6xy + y2 =
(9x2+6xy+y2) - 4x2 = (3x+y)2 - (2x)2
= (x+y)(5x+y)
Bài toán 2
Phân tích thành nhân tử:
A=ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
Giải
Cách
1:
A=ab(a-b)+b2c-bc2+c2a-ca2
=ab(a-b)+c2(a-b)-c(a2-b2)
= ab(a-b)+c2(a-b)-c(a-b)(a+b)
=(a-b)(ab+c2-ca-cb)
=(a-b)(b-c)(a-c)
Cách 2:
Vì (a-b)+(b-c)=a-c
nên
A=ab(a-b)+bc(b-c)-
= ab(a-b)+bc(b-c)-ca(a-b)-ca(b-c)
= a(a-b)(b-c)-c(b-c)(a-b)
=(a-b)(b-c)(a-c)
III:
Bài toán chứng minh
Bài 1:
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của 2 số lẻ liên
tiếp thì chia hết cho 8
Giải
Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n+1 và 2n-1
Ta cần c/m:
(2n+1)2-(2n-1)2 chia hết cho 8
Ta có: (2n+1)2-(2n-1)2 =
(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) = 4n.2 = 8n 
8
Từ đó ta có bài toán tương tự
1 : Chứng minh rằng hiệu các bình phương của 2 số chẳn
liên tiếp thì chia hết cho 4
2 : Tổng các lập phương cảu 3 số lẻ liên tiếp thì
chia hết cho 9
Bài 2: Chứng minh nếu a3+b3+c3
= 3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c
Giải
Từ gt: a3+b3+c3 =
3abc 
a3+b3+c3
- 3abc = 0
Ta phân tích vể trái
a3+b3+c3 - 3abc =
(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = 0
a+b+c =0
Hoặc (a2+b2+c2-ab-bc-ca)
= 0 (1)
Biến đổi vt (2) ta được:
Khi đó a=b=c
Khai thác bài toán: Từ kết quả trên ta rút ta những điều
sau
1. Nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3
= 3abc
2. Nếu a+b+c>0 thì a3+b3+c3
3abc
3. Nếu a+b+c<0 thì a3+b3+c3
3abc
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x2(y+z)
+ y2(z+x) + z2(x+y) +2xyz = 0 (1)
thì x3+y3+z3
= (x+y+z)3 (2)
Giải
Vì vế trái của (1) là đa thức đối xứng 3 ẩn x,y,z. Gọi
đa thức này là H
H = x2(y+z) + y2(z+x) + z2(x+y)
+2xyz
Nếu thay x=-y vào H thì H=0 
Vì H là đa thức bậc 3 đối với x,y,z nên H =
a(x+y)(y+z)(z+x)
Thay x = y = z = 1 vào (2) ta được 8=8a hay a=1
Vậy H=(x + y)(y + z)(z + x)
H = 0 nên x + y = 0 hoặc y + x = 0 hoặc z + x = 0
Nếu x + y = 0
thì x = -y, do đó:
x3
+ y3 + z3 =
z3 = (x + y + z)3
Cách 2: Biến đổi vt (1) về dạng
(x+y)(y+z)(z+x) rồi lập luận như trên.
Còn nhiều bài và nhiều cách giải
phong phú khác, mong các đồng nghiệp góp vào cho phong phú hơn.
Mỹ thủy, ngày 22/10/2012
GV
- Võ Đức Thọ